Question

已知长方形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，现有两只蚂蚁P和Q同时分别从A、B出发，沿AB-BC-CD-DA方向前进，蚂蚁P每秒钟走1cm，蚂蚁Q每秒钟走2cm．问：
（1）蚂蚁出发后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行几秒？
（2）P、Q两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ与边AB平行？
（3）若蚂蚁继续不停地爬行下去，直线PQ还可能与边AB平行吗？若可能，请求出PQ与边AB平行时间规律；若不可能，请说明为什么？

Answer 1

考点：矩形的性质,平行线的判定,等腰三角形的判定

专题：几何动点问题,数形结合,方程思想

分析：（1）首先设蚂蚁出发后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行t秒，可得方程：10-t=2t，解此方程即可求得答案；
（2）首先设P、Q两只蚂蚁最快爬行x秒后，直线PQ∥AB，可得方程：x-10=50-2x，解此方程即可求得答案；
（3）由经过20秒P、Q两只蚂蚁分别在BC，AD的中点；经过30秒P、Q两只蚂蚁分别在C点B点；经过40秒P、Q两只蚂蚁分别在D点C点；经过50秒P、Q两只蚂蚁同在AD中点；经过60秒两只蚂蚁回到原点的位置．即可求得答案．

解答：解：（1）设蚂蚁出发后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行t秒，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，
∴BP=BQ，
∵AP=tcm，BQ=2tcm，则PB=AB-AP=10-t（cm），
∴10-t=2t，
解得：t=

10

3

，
∴蚂蚁出发后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行

10

3

秒；

（2）设P、Q两只蚂蚁最快爬行x秒后，直线PQ∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABPQ是平行四边形，
∴AQ=BP，
∴x-10=50-2x，
解得：x=20，
∴P、Q两只蚂蚁最快爬行20秒后，直线PQ∥AB；

（3）∵经过20秒P、Q两只蚂蚁分别在BC，AD的中点；
经过30秒P、Q两只蚂蚁分别在C点B点；
经过40秒P、Q两只蚂蚁分别在D点C点；
经过50秒P、Q两只蚂蚁同在AD中点；
经过60秒两只蚂蚁回到原点的位置．
∴在出发20秒后直线PQ第一次与AB平行，以后每隔60秒形成一次平行．

点评：此题考查了矩形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．