Question

17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，CD＜AB，点E在边BC上，且CE=DC，BE=AB．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）定义：如果某四边形的一条边上（除顶点外）有一个点，使得除该边两个顶点外的另外两个顶点与它的连线互相垂直，我们把满足这种条件的点叫做该四边形的“勾股点”，例如点E在边BC上，且AE⊥DE，所以点E是四边形ABCD的勾股点，请探究在边AD上有没有四边形ABCD的勾股点？并说明你的理由．
（3）请判断在边CD上有没有四边形ABCD的勾股点？并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明AE⊥DE，只要证明∠DEC+∠AEB=90°即可．
（2）线段AD的中点F是四边形ABCD的勾股点．如图2中，连接CF、BF，延长CF交BA的延长线于点H，由△DFC≌△AFH推出BH=BC，EH=EC即可解决问题．
（3）在边CD上没有四边形ABCD的勾股点，设点M是线段CD任意一点，连接AM、BM，只要证明∠AMB＜90°即可．

解答 （1）证明：如图1中，

∵CE=DC，BE=AB，
∴∠CDE=∠CED，∠AEB=∠BAE，
∵CD∥AB，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∵∠DCE+2∠DEC=180°，∠ABE+2∠AEB=180°，
∴2∠DEC+2∠AEB=180°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠ADE=180°-（∠DEC+∠AEB）=90°，
即AE⊥DE．

（2）线段AD的中点F是四边形ABCD的勾股点．
理由如下：如图2中，连接CF、BF，延长CF交BA的延长线于点H，

∵∠DFC=∠AFH，∠CDF=∠HAF，DF=AF，
∴△DFC≌△AFH，
∴CF=AF，CD=AH，
∴HB=AH+AB=CD+AB=CE+BE=BC，
∴△BHC是等腰三角形，
BF是底边上的中线，
∴BF⊥CH，
即点F是四边形ABCD的勾股点．

（3）在边CD上没有四边形ABCD的勾股点，
理由：如图3中，设点M是线段CD任意一点，连接AM、BM．

∵∠AFB＜∠AED＜90°，而∠AMB＜∠AFB，
∴∠AMB＜90°，
∴点M不是四边形ABCD的勾股点．

点评 本题考查四边形综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．