Question

x⁴+（m-1）x³+mx²+（m-1）x+1=0有两个不同的实数根，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根,因式分解,根的判别式,解一元一次不等式组

专题：

分析：将等式的左边因式分解，从而将原方程转化为[x²+（m-2）x+1]（x²+x+1）=0．由于x²+x+1＞0，因此只能是x²+（m-2）x+1=0，运用根的判别式可得（m-2）²-4×1×1＞0，即m（m-4）＞0，解这个不等式就可解决问题．

解答：解：x⁴+（m-1）x³+mx²+（m-1）x+1=x⁴-x³-x+1+mx³+mx²+mx
=x⁴-x-x³+1+mx（x²+x+1）
=x（x³-1）-（x³-1）+mx（x²+x+1）
=（x-1）（x³-1）+mx（x²+x+1）
=（x-1）²（x²+x+1）+mx（x²+x+1）
=[（x-1）²+mx]（x²+x+1）
=[x²+（m-2）x+1]（x²+x+1）．
则原方程可转化为[x²+（m-2）x+1]（x²+x+1）=0．
∵x²+x+1=（x+

1

2

）²+

3

4

＞0，
∴x²+（m-2）x+1=0．
由题可得：（m-2）²-4×1×1＞0，
则有m²-4m＞0，即m（m-4）＞0，
则有

m＞0 m-4＞0

或

m＜0 m-4＜0

，
解得：m＞4或m＜0．
故答案为：m＞4或m＜0．

点评：本题主要考查了因式分解、配方法、根的判别式、解一元一次不等式组等知识，采用因式分解法是解决本题的关键．