Question

（2012•浦东新区二模）如图，在直角坐标系中，⊙P的圆心是P（a，2）（a＞0），半径为2；直线y=x被⊙P截得的弦长为2

3

，则a的值是

2-

2

或2+

2

．

Answer 1

分析：分为两种情况：①当P在直线y=x的左边时，过P₁D⊥AB于D，由垂径定理求出AD、由勾股定理求出P₁D，过P₁作P₁D∥直线y=x，交y轴于D，过D作DB⊥直线y=x于B，得出DB=P₁D=1，OB=DB=1，由勾股定理求出DO，得出直线P₁D的解析式是y=x+

2

，把P（a，2）代入求出a即可；②与①解法类似，当P在直线y=x的右边时，同法得出直线的解析式y=x-

2

，把p（a，2）代入求出a的另一个值．

解答：解：分为两种情况：

①当P在直线y=x的左边时，过P₁D′⊥AB于D′，
由垂径定理得：AD′=

1

2

×2

3

=

3

，
∵P₁A=2，由勾股定理得：P₁D=1，
过P₁作P₁D∥直线y=x，交y轴于D，过D作DB⊥直线y=x于B，则DB=P₁D=1，
∵直线y=x，
∴∠DOB=45°，
∴OB=DB=1，由勾股定理得：DO=

2

，
∵直线P₁D∥直线y=x，
∴直线P₁D的解析式是y=x+

2

（即把直线y=x相上平移

2

个单位），
∴把P（a，2）代入得：2=a+

2

，
∴a=2-

2

，
②当P在直线y=x的右边时，与①解法类似，P₂M=ON=1，
由勾股定理得OH=

2

，
把直线y=x向下平移

2

个单位得出直线y=x-

2

，
把p（a，2）代入求出a的另一个值是2+

2

．
故答案为：2-

2

或2+

2

．

点评：本题考查了等腰三角形性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，注意：此题要进行分类讨论．