Question

19．对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．
（1）判断命题“另一组邻边也相等的四边形为正方形”是真命题还是假命题？
（2）如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，F是AD延长线一点，BE=DF，连接EF，取EF的中点G，连接CG并延长交AD于点H，探究：四边形BCGE是否是奇特四边形，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若四边形BCGE的面积是16，设BC=x，BE=y，
①求x+y的值；
②求当x+xy取最大值时FH的长．

Answer 1

分析 （1）假命题；根据命题画图验证即可；
（2）连接CE、CF，易证△CBE≌△CDF，则CE=CF，∠BCE=∠DCE，得到△ECF是等腰直角三角形，又G是EF的中点，所以GE=GC，∠EGC=90°，于是四边形BCGE是奇特四边形；
（3）①过点G作MN∥AB，GQ∥AD，易得△GQE≌△GMC，所以四边形BMGQ是正方形，S_{四边形BCGE}=S_{正方形BMGQ}，从而求出GQ=GM=AN=4，由平行线等分线段知，N是AF中点，得到AF=x+y=8；
②由x+y=8，得y=8-x，代入x+xy，利用二次函数的最值得x+xy取最大值时x的值，运用勾股定理和相似求出FH的长．

解答 解：（1）假命题，如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，又DC=DB，明显四边形ABDC不是正方形．
（2）连接CE，CF∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠EBC=∠FDC=90°，
在△EBC和△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠EBC=∠FDC=90°}\\{BE=DF}\end{array}\right.$
∴△CBE≌△CDF（SAS）
∴CE=CF，∠BCE=∠DCE
∴∠ECF=90°，
∵G是EF的中点，
∴GE=GC，∠EGC=90°，
∵GE=GC，∠EGC=∠B=90°
∴四边形BCGE是奇特四边形；
（3）①过点G作MN∥AB，GQ∥AD，
∴△GQE≌△GMC（AAS）
∴GQ=GM，
∴四边形BMGQ是正方形，S_{四边形BCGE}=S_{正方形BMGQ}，
∵四边形BCGE的面积是16，
∴S_{正方形BMGQ}=16
∴GQ=GM=AN=4，
∵G是EF的中点，
∴AN=FN=4，
∴AF=8
∵BE=DF，BC=AD，
∴BE+BC=AF=8
∵BC=x，BE=y
∴x+y=8；
②由①知y=8-x，
∴x+xy=x+x（8-x）=-x²+9x=-（x-$\frac{9}{2}$）2+$\frac{81}{4}$，
∴x+xy取最大值时，x=BC=4.5，y=BE=3.5
∴CE=CF=$\sqrt{（\frac{9}{2}）^{2}+（\frac{7}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{130}}{2}$，
∴FG=$\frac{\sqrt{260}}{4}$
∵Rt△FGH∽Rt△FNG
∴FG²=FN•FH
∵FN=4，FG=$\frac{\sqrt{260}}{4}$，
∴FH=$\frac{65}{16}$．

点评 本题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的全等，三角形的相似，勾股定理，二次函数的性质．本题综合性较强，有一定难度．