题目内容
一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决：（1）把正方形ABCD与等腰Rt△PAQ如图（a）所示重叠在一起，其中∠PAQ=90°，点Q在边BC上，连接PD，求证：△ADP≌△ABQ．
（2）如图（b），O为正方形ABCD对角线的交点，将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点O重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N，求证：OM=ON．
（3）如图（c），将（2）的“正方形”改为“矩形”，其它条件不变，如果AB=4，AD=6，FM=x，FN=y，试求y与x之间的关系式．
【答案】分析：（1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质，由HL即可证出△ADP≌△ABQ．
（2）由同角的余角相等得∠AON=∠BOM，证△OAN≌△OBM（ASA），得OM=ON．
（3）过F作FE⊥AB，FH⊥BC，证△FEN∽△FHM，得
．
解答：证明：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，
在等腰Rt△PAQ中，AQ=AP，
又∵∠ABC=∠ADP，
∴△ADP≌△ABQ（HL）；
（2）在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∠AON=90°-∠NOB，
∠BOM=90°-∠NOB，
∴∠AON=∠BOM，
又∵∠OBM=∠OAN，OA=OB，
∴△OAN≌△OBM，
∴OM=ON；
（3）作FE⊥AB，FH⊥BC，
∵∠NFE=90°-∠EFM，
∠MFH=90°-∠EFM，
∴∠NFE=∠MFH．
又∵∠NEF=∠MHF，
∴△FEN∽△FHM．
故
=
，
即
=
，
整理得y=
．
点评：此题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，同角的补角相等在解题时起着至关重要作用．
（2）由同角的余角相等得∠AON=∠BOM，证△OAN≌△OBM（ASA），得OM=ON．
（3）过F作FE⊥AB，FH⊥BC，证△FEN∽△FHM，得
．解答：证明：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，
在等腰Rt△PAQ中，AQ=AP，
又∵∠ABC=∠ADP，
∴△ADP≌△ABQ（HL）；
（2）在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∠AON=90°-∠NOB，
∠BOM=90°-∠NOB，
∴∠AON=∠BOM，
又∵∠OBM=∠OAN，OA=OB，
∴△OAN≌△OBM，
∴OM=ON；
（3）作FE⊥AB，FH⊥BC，
∵∠NFE=90°-∠EFM，
∠MFH=90°-∠EFM，
∴∠NFE=∠MFH．
又∵∠NEF=∠MHF，
∴△FEN∽△FHM．
故
=，即
=，整理得y=
．点评：此题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，同角的补角相等在解题时起着至关重要作用．
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