Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，S_△BCD=3S_△CAD，则AC﹕BC的值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据条件证得：∠ADC=∠CDB，∠ACD=∠B，得到△BCD∽△CAD，再由相似三角形面积的比等于相似的平方，即可求解．

解答 解：∵S_△BCD=3S_△CAD，
∴$\frac{{S}_{△CAD}}{{S}_{△BCD}}=\frac{1}{3}$，
∵∠ADC=∠CDB=90°，∠C=90°，
∴∠ACD=∠B=90°-∠A，
∴△BCD∽△CAD，
$（\frac{AC}{BC}）^{2}$=$\frac{{S}_{△CAD}}{{S}_{△BCD}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似，相似三角形的性质：相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方，熟记定理是解决问题的关键．