Question

17．如图所示，已知⊙O的直径AB=8cm，BE为⊙O的弦，直接DM经过点E，且∠MEB=∠A作BC⊥DM于点C，BC交⊙O于点F，BC=6cm
（1）求证：DM是⊙O的切线；
（2）求线段AE的长；
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，再由等腰三角形的性质和角的互余关系证出∠MEB+∠1=∠A+∠ABE=90°，即可得出结论；
（2）证明△ABE∽△EBC，得出对应边成比例求出BE，由勾股定理求出AE即可；
（3）先求出∠ABE=30°，OB=4cm，得出∠BOE=120°，图中阴影部分的面积=扇形OBE的面积-△OBE的面积，根据扇形面积公式和△OBE的面积=$\frac{1}{2}$△ABE的面积，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OE，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，
∵OB=OE，
∴∠1=∠ABE，
∵∠MEB=∠A，
∴∠MEB+∠1=∠A+∠ABE=90°，
即DM⊥OE，
∴DM是⊙O的切线；
（2）解：∵BC⊥DM，
∴∠ECB=90°，
∴∠AEB=∠ECB，
又∵∠MEB=∠A，
∴△ABE∽△EBC，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BE}{BC}$，
∴BE²=AB•BC=8×6=48，
∴BE=4$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-48}$=4（cm）；
（3）解：∵AB=8cm，AE=4cm，∠AEB=90°，
∴∠ABE=30°，OB=4cm，
∴∠BOE=120°，
∴图中阴影部分的面积=扇形OBE的面积-△OBE的面积
=$\frac{120π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AE•BE
=$\frac{16π}{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$ 
=$\frac{16π}{3}$-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、扇形面积和三角形面积的计算；本题综合性强，有一定难度．