题目内容

（2013•如皋市模拟）如图，矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm．现有两个动点P，Q分别从A，B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1cm/s，运动时间为t s．
（1）设点Q的运动速度为
12
cm/s．
①当△DPQ的面积最小时，求t的值；
②当△DAP∽△QBP相似时，求t的值．
（2）设点Q的运动速度为a cm/s，问是否存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）①根据S△DPQ=S矩形ABCD-S△DAP-S△PBQ-S△QCD代入得出二次函数的解析式，求出顶点坐标即可；
②根据△DAP∽△QBP得出
DA
PA
=
QB
BP
，代入得出方程
6
t
=
1
2
t
10-t
，求出即可；
（2）假设存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，画出图形，则AP=t，BQ=at．以下分4种情况进行讨论：①当∠1=∠3=∠4时，有
AD
AP
=
BP
BQ
=
CD
CQ
，②当∠1=∠3=∠5时，③当∠1=∠2=∠4时，有
AD
AP
=
BQ
BP
=
CD
CQ
，④当∠1=∠2=∠5时，代入求出即可．
解答：解：（1）①S△DPQ=S矩形ABCD-S△DAP-S△PBQ-S△QCD
=60-
1
2
×6×t-
1
2
×（10-t）×
1
2
t-
1
2
×10×（6-
1
2
t）
=
1
4
t2-3t+30
=
1
4
（t-6）2+21．
∵0≤t≤10，∴当t=6 s时，S△DPQ的最小值为21 cm2．           
②当△DAP∽△QBP时，有
DA
PA
=
QB
BP
，
即
6
t
=
1
2
t
10-t
，解得t1=-6+2
39
，t2=-6-2
39
（舍去）．
∴t=-6+2
39
时，△DAP∽△QBP，
即t的值是-6+2
39
．

（2）假设存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，
则AP=t，BQ=at．以下分4种情况进行讨论．
①当∠1=∠3=∠4时，有
AD
AP
=
BP
BQ
=
CD
CQ
，
∴
6
t
=
10-t
at
=
10
6-at
，解得t1=2，t2=18（舍去）．
此时a=
4
3
．                                               
②当∠1=∠3=∠5时，有∠DPQ=∠PQD=∠PDQ=90°．
此等式不成立．∴不存在这样的a值．
③当∠1=∠2=∠4时，有
AD
AP
=
BQ
BP
=
CD
CQ
，
∴
6
t
=
at
10-t
=
10
6-at
，即有
60-6t=at2
36-6at=10t

整理，得5t2-36+180=0，△＜0，方程无实数解．
∴不存在这样的a值．
④当∠1=∠2=∠5时，∵AB∥DC，∴∠1=∠PDC＞∠5．故不存在这样的a值．
综上所述，存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，此时a=
4
3
．
点评：本题考查了矩形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
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＜
＜
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12
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