Question

10．已知直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，过A（0，1）作y轴的垂线交l于B，过B作l的垂线交y轴于A₁；过点A₁作y轴的垂线交直线l于点B₁，过点B₁作直线l的垂线交y轴于点A₂…；按此作法继续下去，则点A₂₀₁₆的纵坐标为（　　）

• A． 4²⁰¹⁶
• B． 4²⁰¹⁵
• C． 4²⁰¹⁴
• D． 4²⁰¹³

Answer 1

分析 由A点坐标可求得B点坐标，从而可求得AB长，在Rt△ABA₁中，可求得AA₁，可求得A₁的坐标，同理可求得A₂的坐标，可找到规律，则可得出答案．

解答 解：
∵A（0，1），AB⊥y轴，
∴B点纵坐标为1，
又B在直线l上，代入可得1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，解得x=$\sqrt{3}$
∴B点坐标为（$\sqrt{3}$，1），
∴AB=$\sqrt{3}$，
∵OA=1，
∴∠AOB=60°，
∵A₁B⊥l，
∴∠A₁BO=90°，
∴∠AA₁B=30°，
∴AA₁=$\frac{AB}{tan30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3，
∴OA₁=4，
则可求得B₁坐标为（4$\sqrt{3}$，4），
∴A₁B₁=4$\sqrt{3}$，
同理A₁A₂=$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=12，
∴OA₂=16=4²，
∴OA₂₀₁₆=4²⁰¹⁶，
∴A₂₀₁₆的纵坐标为4²⁰¹⁶，
故选A．

点评 本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，利用条件分别求得A₁、A₂的纵坐标是解题的关键．