Question

如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，已知AC，AF的长是关于x的方程x²+mx+1=0的两个根，则m的值为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,根与系数的关系,圆周角定理

专题：

分析：连接OD，作OH⊥DE于H，根据正方形的性质和垂径定理的性质由勾股定理就可以求出OD的值，进而就可以求出AC或AF的值，代入方程就可以求出m的值．

解答：解：连接OD，作OH⊥DE于H，
∴∠OHD=90°，DH=

1

2

DE．
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=DE=EF=FC=1，∠DCF=∠CDE=90°
∴∠DCF=∠CDE=∠OHD=90°，
∴四边形CDHO是矩形，
∴CO=DH=

1

2

DE=

1

2

．
在Rt△COD中，由勾股定理，得
DO=

5

2

．
∴AF=

5

2

+

1

2

．
∴（

5

2

+

1

2

）²+m（

5

2

+

1

2

）+1=0，
∴m=-

5

．
故答案为：-

5

．

点评：本题考查了垂径定理的运用，正方形的性质的运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据正方形的性质和垂径定理求出圆的半径是关键．