Question

18．如图，抛物线y=ax²-8ax（a＞0）与x轴交于O，A两点，它的顶点为P，经过O，A两点的圆⊙M与y轴交于点B，抛物线的对称轴与⊙M交于点C，连接AB，BP，当CD：DM：CP=2：3：4时，tan∠ABP的值是$\frac{9}{13}$．

Answer 1

分析 求出OA=8，OD=AD=4，设CD=2x，DM=3x，CP=4x，则⊙M的半径为2x+3x=5x，AM=5x，根据勾股定理求出x，求出CD=2，DM=3，CP=4，PE=5+5+4=14，连接BE、CF，作BN⊥CD于N，求出BN=OD=4，MN=DM=3，PN=12，根据勾股定理求出PB，求出△PCF∽△PBE，根据比例式求出PF，求出BF，根据勾股定理求出AF，解直角三角形求出即可．

解答 解：∵物线y=ax²-8ax（a＞0）与x轴交于O，A两点，
∴ax²-8ax=0，
解得：x=0或8，
即OA=8，
∵CD为对称轴，
∴CD⊥OA且平分OA，
∴OD=AD=4，
∵CD：DM：CP=2：3：4，
∴设CD=2x，DM=3x，CP=4x，则⊙M的半径为2x+3x=5x，AM=5x，
在Rt△MDA中，由勾股定理得：（3x）²+4²=（5x）²，
解得：x=1，
即CD=2，DM=3，CP=4，PE=5+5+4=14，

如图，连接BE、CF，作BN⊥CD于N，
则BN=OD=4，MN=DM=3，PN=12，
由勾股定理得：PB=$\sqrt{P{N}^{2}+B{N}^{2}}$=4$\sqrt{10}$，
∵点B、F、C、E在⊙M上，
∴∠PCF=∠PBE，
∵∠FPC=∠BPE，
∴△PCF∽△PBE，
∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PF}{PE}$，
∴PF=$\frac{4×14}{4\sqrt{10}}$=$\frac{7\sqrt{10}}{5}$，
∴BF=PB-PF=4$\sqrt{10}$-$\frac{7}{5}$$\sqrt{10}$=$\frac{13}{5}$$\sqrt{10}$，
∵AF²=AB²-BF²=100-$\frac{338}{5}$=$\frac{162}{5}$，
∴AF=$\frac{9}{5}$$\sqrt{10}$，
∴在Rt△ABF中，tan∠ABF=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{\frac{9}{5}\sqrt{10}}{\frac{13}{5}\sqrt{10}}$=$\frac{9}{13}$，
故答案为：$\frac{9}{13}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．