Question

11．已知△ABC中，∠A是锐角，AB=c，BC=a，CA=b．

（1）当∠A=30°，b=6，c=3时，S_△ABC=4.5，$\frac{1}{2}$bc•sinA=4.5；
（2）当∠A=45°，b=6，c=3时，S_△ABC=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$；
（3）当∠A=60°，b=4，c=3时，S_△ABC=3$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$bc•sinA=3$\sqrt{3}$；
（4）根据（1），（2），（3）题的解答，猜想S_△ABC与$\frac{1}{2}$bc•sinA的大小关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）作△ABC的高CD，在Rt△ABC中利用正弦函数的定义求出CD，再根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD代入计算求解，将∠A=30°，b=6，c=3代入$\frac{1}{2}$bc•sinA，计算求解；
（2）作△ABC的高CD，在Rt△ABC中利用正弦函数的定义求出CD，再根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD代入计算求解，将∠A=45°，b=6，c=3代入$\frac{1}{2}$bc•sinA，计算求解；
（3）作△ABC的高CD，在Rt△ABC中利用正弦函数的定义求出CD，再根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD代入计算求解，将∠A=60°，b=4，c=3代入$\frac{1}{2}$bc•sinA，计算求解；
（4）根据（1），（2），（3）题的计算结果，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc•sinA，根据三角形的面积公式即可证明．

解答 解：（1）作△ABC的高CD，
在Rt△ABC中，CD=AC•sinA=bsinA=6×$\frac{1}{2}$=3，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×3×3=4.5，
$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×6×3×$\frac{1}{2}$=4.5；

（2）作△ABC的高CD，
在Rt△ABC中，CD=AC•sinA=bsinA=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{2}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×6×3×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$；

（3）作△ABC的高CD，
在Rt△ABC中，CD=AC•sinA=bsinA=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×4×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$；

（4）猜想S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc•sinA，理由如下：
作△ABC的高CD，
在Rt△ABC中，∵CD=AC•sinA=bsinA，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$c•bsinA=$\frac{1}{2}$bc•sinA．
故答案为4.5，4.5；$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，$\frac{9\sqrt{2}}{2}$；3$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，三角形的面积公式，作△ABC的高CD得到直角三角形是解题的关键．