Question

6．如图，在?ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G．若BG=$4\sqrt{2}$，则△CEF的面积是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，证明△ABE∽△FCE，再分别求出△ABE的面积，然后根据面积比等于相似比的平方即可得到答案．

解答 解：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=6，
∵BG⊥AE，垂足为G，
∴AE=2AG．
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=4$\sqrt{2}$，
∴AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=2，
∴AE=2AG=4；
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BG=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$．
∵BE=6，BC=AD=9，
∴CE=BC-BE=9-6=3，
∴BE：CE=6：3=2：1．
∵AB∥FC，
∴△ABE∽△FCE，
∴S_△ABE：S_△CEF=（BE：CE）²=4：1，
则S_△CEF=$\frac{1}{4}$S_△ABE=2$\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．