Question

7．如图，正方形ABCD中，对角线AC上有一点P，连接BP、DP，过点P作PE⊥PB交CD于点E，连接BE．
（1）求证：BP=EP；
（2）若CE=3，BE=6，求∠CPE的度数；
（3）探究AP、PC、BE之间的数量关系，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作PM⊥BC于M，PN⊥CD于N．只要证明△PMB≌△PNE，即可解决问题；
（2）利用“8字型”证明∠CPE=∠CBE即可解决问题；
（3）结论：PA²+PC²=BE²．首先证明PA=$\sqrt{2}$PG，PC=$\sqrt{2}$PH，BE=$\sqrt{2}$PB，在Rt△PBH中，由BH²+PH²=PB²，PG=BH，可得2PG²+2PH²=2PB²，即PA²+PC²=BE²．

解答 解：（1）如图1中，作PM⊥BC于M，PN⊥CD于N．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PCD=∠PCB，
∴PM=PN，
∵∠BPE=∠MPN=90°，
∴∠BPM=∠EPN，∵∠PMB=∠PNE=90°，
∴△PMB≌△PNE，
∴PB=PE，

（2）如图2中，

在Rt△BCE中，
∵BE=6，CE=3，
∴BE=2CE，
∴∠EBC=30°，
∵∠POE=∠BOC，∠PEB=∠PCB=45°，
∴∠EPC=∠CBE=30°．

（3）结论：PA²+PC²=BE²．
理由：如图3中，作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，则四边形PGBH是矩形．

易知△AGP，△PCH，△PEF都是等腰直角三角形，
∴PA=$\sqrt{2}$PG，PC=$\sqrt{2}$PH，BE=$\sqrt{2}$PB，
在Rt△PBH中，∵BH²+PH²=PB²，
∵PG=BH，
∴2PG²+2PH²=2PB²，
∴PA²+PC²=BE²．

点评 本题考查正方形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线、构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．