Question

8．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15cm，BC=20cm，点D从点B出发沿BC边向点C运动，同时点E从点A出发沿AC边向点C运动，速度均为1cm/s，当一个点到达点C时，另一点也停止运动，连接DE，设点D的运动时间为t（单位：s，0≤t＜15），△CDE的面积为S（单位：cm²）
（1）在点D、E运动过程中，DC-EC=5cm，并求出S与t的函数关系式；
（2）点D运动到什么位置时，S等于△ABC面积的一半？
（3）如图2，在点D、E运动的同时，将线段DE绕点E逆时针旋转45°，得到线段EP，过点D作DF⊥EP，垂足为F，连接CF，在DC上截取GC=5cm，连接FG，在点D、E运动过程中，线段CF的长是一个定值，求出其值；
（4）点D、E及EP按照（3）中的方式运动到某个时刻停止，仍过点D作DF⊥EP，垂足为F，如图3，令点Q在DE的右侧运动（点Q不与A、B重合），且DQ⊥EQ，连接QF，若DQ=m，EQ=n（m＞0，n＞0且m≠n），直接写出QF的长（用含m，n的式子表示）

Answer 1

分析 （1）由题意知AE=BD=t，所以EC=15-t，DC=20-t，代入DC-EC中即可求出它的值，另外S=$\frac{1}{2}$EC•DC，分别将DC和EC代入即可求出S与t的函数关系式；
（2）容易求出△ABC的面积，令（1）的函数解析式中的S=75，即可求出t的值，要注意t的范围；
（3）延长AC至H使得，CH=GC=5，连接HF，利用条件易证△HEF≌△CDF，所以HF=CF，∠FHE=∠FCD，即可证明△HFC是等腰直角三角形，从而可知CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CH；
（4）延长QD至点G，使得DG=QE，连接GF，易证△GDF≌△QEF，所以GF=QF，∠GFD=∠QFE，从而可证明△GFQ是等腰直角三角形，所以FQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$QG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（DG+DQ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m+n）．

解答 解：（1）由题意知：AE=BD=t，
∴EC=15-t，DC=20-t，
∴DC-EC=（20-t）-（15-t）=5，
∴S=$\frac{1}{2}$EC•DC
=$\frac{1}{2}$（15-t）（20-t）
=$\frac{{t}^{2}}{2}$-$\frac{35t}{2}$+150
故答案为：5；

（2）△ABC的面积为$\frac{1}{2}$×20×15=150，
当S=$\frac{1}{2}$×150时，
∴$\frac{{t}^{2}}{2}$-$\frac{35t}{2}$+150=75，
解得：t=5或t=30，
∵0≤t＜15，
∴t=5，
∴BD=t=5，
∴点D运动到$\frac{1}{4}$BD处时，S等于△ABC面积的一半；

（3）延长AC至H使得，CH=GC=5，
连接HF，如图2，
由（1）可知，DC-EC=5，
即DC-EC=CH，
∴DC=EC+CH=EH，
∵DF⊥EF，∠DEF=45°，
∴△DFE是等腰直角三角形，
∴DF=EF，
∵∠DFE=∠DCE=90°，
∴F、C、E、D四点共圆，
∴∠FDC=∠FEH，
在△HEF与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=DF}\\{∠FEH=∠FDC}\\{HE=CD}\end{array}\right.$，
∴△HEF≌△CDF（SAS），
∴HF=CF，∠FHE=∠FCD，
∵HF=CF，
∴∠FHE=∠FCH，
∴∠FCH=∠FCD，
∵∠HCB=90°，
∴∠FCH=∠FCD=45°，
∴△HFC是等腰直角三角形，
∴CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CH=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；

（4）延长QD至点G，使得DG=QE，
连接GF，
∵∠DFE=∠DQE=90°，
∴∠FDQ+∠FEQ=180°，
∵∠GDF+∠FDQ=180°，
∴∠GDF=∠QEF，
由（3）可知：△DFE是等腰直角三角形，
∴DF=EF，
在△GDF与△QEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{GD=QE}\\{∠GDF=∠QEF}\\{DF=EF}\end{array}\right.$
∴△GDF≌△QEF（SAS），
∴GF=QF，∠GFD=∠QFE，
∴∠DFQ+∠QFE=∠DFQ+∠GFD，
∴∠DFE=∠GFQ=90°，
∴△GFQ是等腰直角三角形，
∴FQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$QG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（DG+DQ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m+n）．

点评 本题考查几何变换综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，旋转性质等知识内容，内容较为综合，需要学生综合运用所学知识解决．