Question

10．四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线，且S_△ABC：S_△ADC=AB：AD．
（1）如图1，求证：BC=CD；
（2）如图2：连接OC，交对角线BD于点E，若∠BAD=60°，求证：OE=EC；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF⊥AC于点F，连接FO并延长FO，交AB边于点G，若FG⊥AB，OC=$\sqrt{21}$，求△OFC的面积．

Answer 1

分析 （1）首先利用已知得出CL=CK，再结合全等三角形的判定方法得出△CKB≌△CLD（AAS），进而得出答案；
（2）首先得出△OBC是等边三角形，进而得出答案；
（3）利用已知首先得出△AMD是等边三角形，进而得出BG，EF的长，再利用S_△OEF=$\frac{1}{2}$OF•EF进而得出答案．

解答 （1）证明：过C作CK⊥AB于点K，过C作CL⊥AD于点L，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CK，S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•CL，
∵S_△ABC：S_△ADC=AB：AD．
∴CL=CK，
∵∠B+∠ADC=180°，∠CDL+∠ADC=180°，
∴∠B=∠CDL，
∵∠CKB=∠L=90°，
在△CKB和△CLD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CDL}\\{∠BKC=∠CLD}\\{KC=LC}\end{array}\right.$，
∴△CKB≌△CLD（AAS），
∴BC=CD．

（2）证明：如图2，连接OB、OD，
∵BC=CD，
∴∠BOC=∠DOC
∵OB=OD，
∴OE⊥BD，
∵∠BAD=60°，
∴∠BOC=∠DOC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∴OE=EC；

（3）解：如图3，延长DF交AB于点M，连接OB，
∵∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD=30°，
∵AF⊥DF，
∴∠AFM=∠AFD=90°，
∴∠AMD=∠ADM=60°，
∴△AMD是等边三角形，
设MG=a，则MF=2a，AM=AD=MD=4a，GF=$\sqrt{3}$a，
∴AG=BG=3a，∴BM=2a
∵E、F分别是BD、MD中点，∴EF=a，EF∥AB
过B作BN⊥MD，则MN=a，BN=$\sqrt{3}$a，∴DN=5a，
∵BD=$\sqrt{3}$OC，∴BD=3$\sqrt{7}$
在Rt△BND中，（$\sqrt{3}$a）²+（5a）²=（3$\sqrt{7}$）²
解得a=$\frac{3}{2}$，
∴BG=$\frac{9}{2}$，EF=$\frac{3}{2}$，
在Rt△OGB中，OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OF=$\sqrt{3}$，
∵EF∥AB，
∴∠EFO=∠AGF=90°
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}$OF•EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
∵OE=EC，
∴S_△OFC=2 S_△OEF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题主要考查了圆的综合以及全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质等知识，正确得出MN的长是解题关键．