Question

如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）连结MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？
（2）求证：△AMB≌△ENB；
（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定

专题：

分析：（1）根据旋转的性质可得BM=BN，∠MBN=60°，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（2）根据等边三角形的性质可得AB=EB，BM=BN，∠ABE=∠MBN=60°，再求出∠ABM=∠EBN，然后利用“边角边”证明△AMB和△ENB全等即可；
（3）①根据两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，再根据正方形的性质解答；
②根据全等三角形对应边相等可得AM=EN，然后求出AM+BM+CM=EN+MN+CM，再根据两点之间线段最短证明．

解答：（1）解：△BMN是等边三角形．
理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴BM=BN，∠MBN=60°，
∴△BMN是等边三角形；

（2）证明：∵△ABE和△BMN都是等边三角形，
∴AB=EB，BM=BN，∠ABE=∠MBN=60°，
∴∠ABE-∠ABN=∠MBN-∠ABN，
即∠ABM=∠EBN，
在△AMB和△ENB中，

AB=EB ∠ABM=∠EBN BM=BN

，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；

（3）①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点M为BD的中点；
②当点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵△BMN是等边三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，EN+MN+CM，
故，点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，（3）从两点之间线段最短考虑求解是解题的关键．