Question

11．如图，正方形ABOC，点M、N分别在AB、AC上．
（1）若∠NMO=∠MOC，问△AMN的周长是否变化？若不是，请求其值；
（2）若点M在AB延长线上，点N在CA的延长线上，其它条件不变，问CN、MN、BM三者存在怎样的关系，试证明．

Answer 1

分析 （1）先过O作OG⊥MN于G，连接ON，判定△OMB≌△OMG﹙AAS﹚，再判定Rt△ONG≌Rt△ONC﹙HL），即可得出CN=NG，进而得到△AMN的周长=AM+MN+NA=AB+AC；
（2）先过点O作OG⊥MN于G，连接ON，判定△OMB≌△OMG﹙AAS﹚，再判定△ONG≌△ONC﹙HL﹚，得出CN=NG，再根据NG=MN+MG，即可得到CN=MN+BM．

解答 解：（1）△AMN的周长不变．
如图①，过O作OG⊥MN于G，连接ON，则∠MGO=∠MBO=90°，
∵∠NMO=∠MOC，∠BMO=∠MOC，
∴∠BMO=∠OMG，
在△OMB和△OMG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MGO=∠MBO}\\{∠BMO=∠OMG}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△OMB≌△OMG﹙AAS﹚，
∴MB=MG，OB=OG，
∵OB=OC，
∴OG=OC，
又∵ON=ON，
∴Rt△ONG≌Rt△ONC﹙HL），
∴CN=NG，
∴△AMN的周长=AM+MN+NA=AB+AC=8（定值）；

（2）CN=MN+BM．
如图②，过点O作OG⊥MN于G，连接ON，则∠MGO=∠MBO=90°，
∵AB∥CO，∠NMO=∠MOC，
∴∠BMO=180°-∠MOC=180°-∠OMN=∠OMG，
在△OMB和△OMG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MGO=∠MBO}\\{∠BMO=∠OMG}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△OMB≌△OMG﹙AAS﹚，
∴MB=MG，OB=OG，
又∵OB=OC，
∴OG=OC，
又∵ON=ON，
∴Rt△ONG≌Rt△ONC﹙HL﹚，
∴CN=NG，
又∵NG=MN+MG，
∴CN=MN+BM．

点评 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的对应边相等．