Question

小芳在计算a+

bc-a2

a2+b2+c2

（a，b，c互不相等）时，发现若交换a与b时，这个式子的值不变；若把a和c交换时，这个式子的值也不变，如果a+b+c=1，请你求出这个不变的值．

Answer 1

考点：分式的化简求值

专题：计算题

分析：根据a与b交换后，式子值不变，列出关系式，通分去分母整理后把a+b+c=1代入求出a²+b²+c²=1，代入已知式子中化简得到关系式，若把a和c交换时，这个式子的值也不变，则有a+bc-a²=b+ac-b²=c+ba-c²，把a+bc-a²变形后计算即可求出不变的值．

解答：解：根据题意得：a+

bc-a2

a2+b2+c2

=b+

ac-b2

a2+b2+c2

，
通分去分母，得a（a²+b²+c²）+（bc-a²）=b（b²+a²+c²）+（ac-b²），
整理，得（a-b）（a²+b²+c²-a-b-c）=0，
又∵a+b+c=1，
∴上式变为（a-b）（a²+b²+c²-1）=0，
∵a，b，c互不相等，∴a-b≠0，
∴a²+b²+c²-1=0，即a²+b²+c²=1，
∴a+

bc-a2

a2+b2+c2

=a+bc-a²，
又∵交换a与b时，这个式子的值不变；
若把a和c交换时，这个式子的值也不变，
∴a+bc-a²=b+ac-b²=c+ba-c²，
∴a+bc-a²=

1

3

（a+bc-a²+b+ac-b²+c+ba-c²）
=

1

6

（2a+2bc-2a²+2b+2ac-2b²+2c+2ba-2c²）
=

1

6

（2a+2b+2c-3a²-3b²-3c²+a²+b²+c²+2bc+2ac+2ba）
=

1

6

[2（a+b+c）-3（a²+b²+c²）+（a+b+c）²]
=

1

6

×（2-3+1）
=0，
则这个不变的值是0．

点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．