Question

13．若甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲走这段路的方法是：前$\frac{2}{3}$的路程骑自行车．后$\frac{1}{3}$的路程乘汽车：乙走这段路的方法是：前$\frac{2}{3}$的时间骑自行车，后$\frac{1}{3}$的时间乘汽车．如果自行车速度始终为a，汽车速度始终为b，
（1）若a=18，b=30，谁先到？
（2）若a=$\frac{1}{2}$b，谁先到？
（3）若b=a+1．谁先到？

Answer 1

分析 设乙走这段路所用时间为1，这段路路程为$\frac{2}{3}$a+$\frac{1}{3}$b，
（1）当a=18，b=30时，则路程为$\frac{2}{3}$×18+$\frac{1}{3}$×30=22，然后根据路程÷速度=时间，求得甲所用的时间与1比较即可判定；
（2）若a=$\frac{1}{2}$b，则路程为$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{3}$×b=$\frac{2}{3}$b，然后根据路程÷速度=时间，求得甲所用的时间与1比较即可判定；
（3）若b=a+1.$\frac{2}{3}$×a+$\frac{1}{3}$×b=$\frac{2}{3}$a+$\frac{1}{3}$（a+1）=a+$\frac{1}{3}$，然后根据路程÷速度=时间，求得甲所用的时间与1比较即可判定．

解答 解：设乙走这段路所用时间为1，
这段路路程为$\frac{2}{3}$a+$\frac{1}{3}$b，
（1）当a=18，b=30时，则路程为$\frac{2}{3}$×18+$\frac{1}{3}$×30=22，
甲用的时间为：$\frac{22×\frac{2}{3}}{18}$+$\frac{22×\frac{1}{3}}{30}$=$\frac{286}{270}$＞1，
所以，乙先到；
（2）若a=$\frac{1}{2}$b，则路程为$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{3}$×b=$\frac{2}{3}$b，
甲用的时间为：$\frac{\frac{2}{3}×\frac{2}{3}b}{a}$+$\frac{\frac{1}{3}×\frac{2}{3}b}{b}$=$\frac{\frac{4}{9}b}{\frac{1}{2}b}$+$\frac{\frac{2}{9}b}{b}$=$\frac{10}{9}$＞1，
所以，乙先到；
（3）若b=a+1.$\frac{2}{3}$×a+$\frac{1}{3}$×b=$\frac{2}{3}$a+$\frac{1}{3}$（a+1）=a+$\frac{1}{3}$，
甲用的时间为：$\frac{\frac{2}{3}（a+\frac{1}{3}）}{a}$+$\frac{\frac{1}{3}（a+\frac{1}{3}）}{b}$=$\frac{\frac{2}{3}a+\frac{2}{9}}{a}$+$\frac{\frac{1}{3}a+\frac{1}{9}}{a+1}$=1+$\frac{2}{9a（a+1）}$＞1，
所以，乙先到．

点评 本题考查了分式的混合运算，解题的关键是化简和通分．