题目内容
如图，已知反比例函数y1=| k1 |
| x |
| 1 |
| 2 |
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接出不等式
| k1 |
| x |
（3）若点P在x轴上，则在平面直角坐标系内是否存在点Q，使以A、O、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请你直接写出所有符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k1=1，则可确定比例函数解析式为y=
，再确定A点坐标为（1，1），然后利用待定系数法确定一次函数解析式为y=2x-1；
（2）观察函数图象得到当x＜-
或0＜x＜1时，反比例函数图象都在一次函数图象上方，即
-k2x-b≥0；
（3）分类讨论：以OA为菱形的对角线：作AP1⊥x轴于P1，AQ1⊥y轴于Q1，得到四边形OP1AQ1为正方形，则Q1的坐标为（0，1）；以OA为菱形的边，由于OA=
，过点A作x轴的平行线，截取AQ2=
，在x轴截取OP2=
，则四边形OP2Q2A为菱形，此时Q2的坐标为（
+1，1）；同样可得到Q2的坐标为（-
+1，1）；作点A关于x轴的对称点Q3，点O关于直线AP1的对称点P4，则四边形OAP4Q4为菱形，此时Q4的坐标为（1，-1）．
| 1 |
| x |
（2）观察函数图象得到当x＜-
| 1 |
| 2 |
| k1 |
| x |
（3）分类讨论：以OA为菱形的对角线：作AP1⊥x轴于P1，AQ1⊥y轴于Q1，得到四边形OP1AQ1为正方形，则Q1的坐标为（0，1）；以OA为菱形的边，由于OA=
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
解答：解：
（1）把B（-
，-2）代入y1=
得k1=-
×（-2）=1，
∴反比例函数解析式为y=
，
把A（1，n）代入y=
得n=1，
∴A点坐标为（1，1），
把A（1，1）、B（-
，-2）分别代入y2=k2x+b得
，解得
，
∴一次函数解析式为y=2x-1；
（2）当x＜-
或0＜x＜1时，
-k2x-b≥0；
（3）①作AP1⊥x轴于P1，AQ1⊥y轴于Q1，如图，
∵A点坐标为（1，1），
∴四边形OP1AQ1为正方形，Q1的坐标为（0，1）；
②OA=
，过点A作x轴的平行线，截取AQ2=
，在x轴截取OP2=
，则四边形OP2Q2A为菱形，此时Q2的坐标为（
+1，1）；
③与②一样可得到Q2的坐标为（-
+1，1）；
④作点A关于x轴的对称点Q3，点O关于直线AP1的对称点P4，则四边形OAP4Q4为菱形，此时Q4的坐标为（1，-1），
综上所述，满足条件的Q点的坐标为（0，1）、（
+1，1）、（-
+1，1）、（1，-1）．
（1）把B（-| 1 |
| 2 |
| k1 |
| x |
| 1 |
| 2 |
∴反比例函数解析式为y=
| 1 |
| x |
把A（1，n）代入y=
| 1 |
| x |
∴A点坐标为（1，1），
把A（1，1）、B（-
| 1 |
| 2 |
|
|
∴一次函数解析式为y=2x-1；
（2）当x＜-
| 1 |
| 2 |
| k1 |
| x |
（3）①作AP1⊥x轴于P1，AQ1⊥y轴于Q1，如图，
∵A点坐标为（1，1），
∴四边形OP1AQ1为正方形，Q1的坐标为（0，1）；
②OA=
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
③与②一样可得到Q2的坐标为（-
| 2 |
④作点A关于x轴的对称点Q3，点O关于直线AP1的对称点P4，则四边形OAP4Q4为菱形，此时Q4的坐标为（1，-1），
综上所述，满足条件的Q点的坐标为（0，1）、（
| 2 |
| 2 |
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的判定与性质；会利用待定系数法确定函数解析式和利用勾股定理计算线段的长．
练习册系列答案
全能测控期末小状元系列答案
相关题目
在△ABC中，C、C′关于DE对称，判断∠1，∠2，∠C′的关系并证明．
如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其对称轴是x=1，且OB=OC．