题目内容
如图，已知反比例函数y1=| k1 |
| x |
| 1 |
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（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接出不等式
| k1 |
| x |
（3）若点P在x轴上，则在平面直角坐标系内是否存在点Q，使以A、O、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请你直接写出所有符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k1=1，则可确定比例函数解析式为y=
，再确定A点坐标为（1，1），然后利用待定系数法确定一次函数解析式为y=2x-1；
（2）观察函数图象得到当x＜-
或0＜x＜1时，反比例函数图象都在一次函数图象上方，即
-k2x-b≥0；
（3）分类讨论：以OA为菱形的对角线：作AP1⊥x轴于P1，AQ1⊥y轴于Q1，得到四边形OP1AQ1为正方形，则Q1的坐标为（0，1）；以OA为菱形的边，由于OA=
，过点A作x轴的平行线，截取AQ2=
，在x轴截取OP2=
，则四边形OP2Q2A为菱形，此时Q2的坐标为（
+1，1）；同样可得到Q2的坐标为（-
+1，1）；作点A关于x轴的对称点Q3，点O关于直线AP1的对称点P4，则四边形OAP4Q4为菱形，此时Q4的坐标为（1，-1）．
| 1 |
| x |
（2）观察函数图象得到当x＜-
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| k1 |
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（3）分类讨论：以OA为菱形的对角线：作AP1⊥x轴于P1，AQ1⊥y轴于Q1，得到四边形OP1AQ1为正方形，则Q1的坐标为（0，1）；以OA为菱形的边，由于OA=
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
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解答：解：
（1）把B（-
，-2）代入y1=
得k1=-
×（-2）=1，
∴反比例函数解析式为y=
，
把A（1，n）代入y=
得n=1，
∴A点坐标为（1，1），
把A（1，1）、B（-
，-2）分别代入y2=k2x+b得
，解得
，
∴一次函数解析式为y=2x-1；
（2）当x＜-
或0＜x＜1时，
-k2x-b≥0；
（3）①作AP1⊥x轴于P1，AQ1⊥y轴于Q1，如图，
∵A点坐标为（1，1），
∴四边形OP1AQ1为正方形，Q1的坐标为（0，1）；
②OA=
，过点A作x轴的平行线，截取AQ2=
，在x轴截取OP2=
，则四边形OP2Q2A为菱形，此时Q2的坐标为（
+1，1）；
③与②一样可得到Q2的坐标为（-
+1，1）；
④作点A关于x轴的对称点Q3，点O关于直线AP1的对称点P4，则四边形OAP4Q4为菱形，此时Q4的坐标为（1，-1），
综上所述，满足条件的Q点的坐标为（0，1）、（
+1，1）、（-
+1，1）、（1，-1）．
（1）把B（-| 1 |
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∴反比例函数解析式为y=
| 1 |
| x |
把A（1，n）代入y=
| 1 |
| x |
∴A点坐标为（1，1），
把A（1，1）、B（-
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∴一次函数解析式为y=2x-1；
（2）当x＜-
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| k1 |
| x |
（3）①作AP1⊥x轴于P1，AQ1⊥y轴于Q1，如图，
∵A点坐标为（1，1），
∴四边形OP1AQ1为正方形，Q1的坐标为（0，1）；
②OA=
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③与②一样可得到Q2的坐标为（-
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④作点A关于x轴的对称点Q3，点O关于直线AP1的对称点P4，则四边形OAP4Q4为菱形，此时Q4的坐标为（1，-1），
综上所述，满足条件的Q点的坐标为（0，1）、（
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点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的判定与性质；会利用待定系数法确定函数解析式和利用勾股定理计算线段的长．
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