Question

16．如图，在?ABCD中，E是BC边上一点，连结DE，使得DE=AD，作∠DAF=∠CDE．
求证：（1）△DAF≌△EDC；
（2）AE平分∠BAF．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的对边相互平行和平行线的性质得到∠ADE=∠DEC，证出DE=BC，证明三角形全等即可；
（2）证出∠AEB=∠AEF，由AAS证明△BAE≌△FAE，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠B+∠C=180°，
∴∠ADE=∠DEC．∠AEB=∠DAE，
又∵DA=DE，
∴DE=BC，
在△DAF和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠CDE}&{\;}\\{AD=DE}&{\;}\\{∠ADE=∠DEC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△EDC（ASA）；
（2）∵△DAF≌△EDC，
∴∠AFD=∠C，
∵DE=AD，
∴∠AEF=∠DAE，
∴∠AEB=∠AEF，
∵∠AFE+∠AFD=180°，
∴∠B=∠AFE，
在△BAE和△FAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠AFE}&{\;}\\{∠AEB=∠AEF}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△FAE（AAS），
∴∠BAE=∠FAE，
即AE平分∠BAF．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．