Question

12．已知函数y=-（x-1）²+4．
（1）当x=1时，抛物线有最大值，是4．
（2）当x＜1 时，y随x的增大而增大；
（3）该函数图象可由y=-x²的图象经过怎样的平移得到？
（4）求出该抛物线与x轴的交点坐标；
（5）求出该抛物线与y轴的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的顶点式找出抛物线的顶点坐标，再根据二次项系数为-1得出抛物线开口向下，由此即可得出结论；
（2）根据抛物线开口方向结合抛物线的对称轴，即可找出单增区间；
（3）找出函数y=-x²的顶点坐标，结合函数y=-（x-1）²+4的顶点坐标，即可找出平移的方法；
（4）令y=0可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x值，由此得出抛物线与x轴的交点坐标；
（5）令x=0求出y值，由此即可得出抛物线与y轴的交点坐标．

解答 解：（1）∵函数解析式为y=-（x-1）²+4，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，4）．
故答案为：1；4．
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大．
故答案为：x＜1．
（3）∵函数y=-x²的顶点坐标为（0，0），
∴将函数y=-x²的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得出函数y=-（x-1）²+4的图象．
（4）令y=0，则有-（x-1）²+4=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴该抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）和（3，0）．
（5）当x=0时，y=-（0-1）²+4=3，
∴该抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．

点评 本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．