题目内容
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=12，CD=4
，∠C=45°，P点以2cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，Q点同时以1cm/秒的速度在线段DA上由D向A匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）
（1）当t为何值时，PC分梯形为两部分中有平行四边形？
（2）是否存在t，使得P，C，D，Q为顶点的四边形构成菱形？如果存在，求出t值；如果不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，PQ⊥BC．
| 2 |
（1）当t为何值时，PC分梯形为两部分中有平行四边形？
（2）是否存在t，使得P，C，D，Q为顶点的四边形构成菱形？如果存在，求出t值；如果不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，PQ⊥BC．
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）由题意可知QD=t，BP=2t，当AQ=BP或QD=BC时PC可分梯形两部分中有一个为平行四边形，可得到关于t的方程，求解即可；
（2）由（1）可知当QD=PC时，四边形PCDQ为平行四边形，只有当QD=DC时该四边形为菱形，此时可求得t的值，但此时不在范围之内，可得出结论；
（3）过D作DE⊥BC，次BC于点E，当PQ⊥BC时，则有PE=QD，则可用t表示出CE，而在Rt△DCE中可求得CE，从而得到关于t的方程，求出t即可．
（2）由（1）可知当QD=PC时，四边形PCDQ为平行四边形，只有当QD=DC时该四边形为菱形，此时可求得t的值，但此时不在范围之内，可得出结论；
（3）过D作DE⊥BC，次BC于点E，当PQ⊥BC时，则有PE=QD，则可用t表示出CE，而在Rt△DCE中可求得CE，从而得到关于t的方程，求出t即可．
解答：解：（1）由题意可知QD=t，BP=2t，
当四边形ABPQ为平行四边形时，则AQ=BP，
∵AD=5，∴AQ=AD-QD=5-t，
∴5-t=2t，解得t=
，
当四边形CDQP为平行四边形时，则QD=PC，
∵BC=12，∴PC=BC-BP=12-2t，
∴t=12-2t，解得t=4，
综上可知当t=
秒或4秒时，PQ分梯形为两部分中有平行四边形；
（2）不存在，理由如下：
由（1）可知当QD=PC时，四边形CDQP为平行四边形，
若四边形CDQP为菱形，则有DQ=CD，
即t=4
＞5，而0＜t＜5，
所以不存在使得P，C，D，Q为顶点的四边形构成菱形的t；
（3）当PQ⊥BC时，过点D作DE⊥BC，交BC于点E，如图，
则四边形PEDQ为矩形，∴QD=PE，
∴BE=BP+PE=BP+QD=2t+t，
∵CD=4
，∠C=45°，
∴CE=4，
∴BE=BC-CE=10-4=6，
∴2t+t=6，解得t=2，
即当t=2秒时，PQ⊥BC．
当四边形ABPQ为平行四边形时，则AQ=BP，
∵AD=5，∴AQ=AD-QD=5-t，
∴5-t=2t，解得t=
| 5 |
| 3 |
当四边形CDQP为平行四边形时，则QD=PC，
∵BC=12，∴PC=BC-BP=12-2t，
∴t=12-2t，解得t=4，
综上可知当t=
| 5 |
| 3 |
（2）不存在，理由如下：
由（1）可知当QD=PC时，四边形CDQP为平行四边形，
若四边形CDQP为菱形，则有DQ=CD，
即t=4
| 2 |
所以不存在使得P，C，D，Q为顶点的四边形构成菱形的t；
（3）当PQ⊥BC时，过点D作DE⊥BC，交BC于点E，如图，
则四边形PEDQ为矩形，∴QD=PE，
∴BE=BP+PE=BP+QD=2t+t，
∵CD=4
| 2 |
∴CE=4，
∴BE=BC-CE=10-4=6，
∴2t+t=6，解得t=2，
即当t=2秒时，PQ⊥BC．
点评：本题主要考查平行四边形的性质及菱形的性质和判定、勾股定理等知识的综合应用，解题的关键是用时间t表示出相应线段的长度，把动态的问题转化为静态的问题，即化“动”为“静”，在第（2）问中，由菱形的性质得到线段相等求得t的值，注意结合t的取值范围来进行判断．
练习册系列答案
阶梯计算系列答案
相关题目
如图所示，AD为△ABC外角∠CAE的平分线，交△ABC的外接圆于点D．求证：BD=CD．在数轴上与表示-3的点的距离等于5的点所表示的数是（ ）
| A、-8和2 | B、8和-2 |
| C、-8和-2 | D、8和2 |