Question

17．如图：Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，以AB为直径的⊙O交OC于D，AD的延长线交BC于E，过点D作⊙O的切线DF交BC于F，连接OF．⊙C切⊙O于点D，交BC于G
（1）求证：OF∥AE；
（2）点G为线段BC的一个黄金分割点吗？如是，请证明，如不是请说明理由；
（3）求$\frac{DE}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）易证RT△OFD≌RT△OFB（HL），由全等三角形的性质可得∠FOD=∠FOB，又因为OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，再由∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，可得∠FOB=∠OAD，进而可证明OF∥AE；
（2）点G为线段BC的一个黄金分割点，设⊙O的半径为R，则BC=AB=2R，利用勾股定理可求出OC的长，进而可求出CG的长，再计算CG和BC的比值即可；
（3）连接BD交OF于H，易证AB²=AE•AD，BE²=DE•AE，再由三角形性质可得DF：CD=OB：BC=1：2，进而可求出DF，BE的值，由DE：AD=BE²：AB²计算即可．

解答 （1）证明：
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠FDO=90°
又∵∠ABC=90°，OD=OB，OF=OF，
∴在RT△OFD和RT△OFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴RT△OFD≌RT△OFB（HL），
∴∠FOD=∠FOB，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∴∠FOB=∠OAD，
∴OF∥AE．
解：（2）点G为线段BC的一个黄金分割点，理由如下：
设⊙O的半径为R，则BC=AB=2R，
OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$R，
∴CG=CD=$\sqrt{5}$R-R=（$\sqrt{5}$-1）R，
∴$\frac{CG}{CB}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴G是BC的黄金分割点．
（3）连接BD交OF于H，
∵AB是直径，
∴BD⊥AE，
∴∠BDE=90°，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△ABE，
∴AB²=AE•AD，
同理可证△BDE∽△ABE，
∴BE²=DE•AE，
∵∠FCD=∠OCB，∠CDF=∠CBO=90°，
∴△CDF∽△CBO，
∴DF：CD=OB：BC=1：2，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$R，
∵BC是⊙O的切线，
∴DF=BF，
∴DF是△BDE的中线，
∴BE=2DF=（$\sqrt{5}$-1）R，
∴DE：AD=BE²：AB²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了和圆有关的综合题目，用到的知识点有全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、切线的性质、平行线的判定和性质以及等腰三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．