题目内容
13．
如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）当CQ=10时，求$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△PQB}}$的值．
（2）当x为何值时，PQ∥BC；
（3）是否存在某一时刻，使△APQ与△CQB相似？若存在，求出此时AP的长，若不存在，请说明理由．
分析 （1）当CQ=10时，可求出x，从而求出AP，即可求出BP，然后根据两个三角形两底上的高相等时，这两个三角形的面积比等于这两个底的比，就可解决问题；
（2）由题可得AP=4x，CQ=3x，BP=20-4x，AQ=30-3x．若PQ∥BC，则有△APQ∽△ABC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）由BA=BC得∠A=∠C．要使△APQ∽△CQB，只需$\frac{AP}{CQ}=\frac{AQ}{CB}$，此时$\frac{4x}{3x}=\frac{30-3x}{20}$，解这个方程就可解决问题．
解答 解：（1）当CQ=10时，3x=10，
∴x=$\frac{10}{3}$，
∴AP=4x=$\frac{40}{3}$，
∴BP=20-$\frac{40}{3}$=$\frac{20}{3}$
∴$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△PQB}}=\frac{BP}{AB}$=$\frac{1}{3}$．
（2）由题可得AP=4x，CQ=3x．
∵BA=BC=20，AC=30，
∴BP=20-4x，AQ=30-3x．
若PQ∥BC，
则有△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{4x}{20}=\frac{30-3x}{30}$，
解得：x=$\frac{10}{3}$．
∴当x=$\frac{10}{3}$时，PQ∥BC；
（2）存在．
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
要使△APQ∽△CQB，
只需$\frac{AP}{CQ}=\frac{AQ}{CB}$．
此时$\frac{4x}{3x}=\frac{30-3x}{20}$，
解得：x=$\frac{10}{9}$，
∴AP=4x=$\frac{40}{9}$；
点评 此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解方程、两个三角形的面积比等于两个底的比（这两底上的高相等）等知识，利用相似三角形的性质是解决本题的关键
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| 用水量（吨） | 不超过17吨的部分 | 超过17吨不超过31吨的部分 | 超过31吨的部分 |
| 单位（元/吨） | 3 | 5 | 6.8 |
如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠OAB=90°，OC=3cm，AB=4cm，求BD、AD的长度．
小亮家与姥姥家相距24km，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家，妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程S（km）与北京时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到小亮结论，其中错误的是（ ）| A． | 小亮骑自行车的平均速度是12km/h | |
| B． | 妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家 | |
| C． | 9：00妈妈追上小亮 | |
| D． | 妈妈在距家13km处追上小亮 |