在正方形ABCD中.对角线AC.BD交于点O.点P在线段BC上.∠BPE=$\frac{1}{2}$∠ACB.PE交BO于点E.过点B作BF⊥PE.垂足为F.交AC于点G．(1)当点P与点C重合时.求证:△BOG≌△POE,(2)结合图②.通过观察.测量.猜想:$\frac{BF}{PE}$$\frac{1}{2}$.并证明你的猜想,(3)把正方形ABCD改为菱形.其他条件不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=$\frac{1}{2}$∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
（1）当点P与点C重合时（如图①），求证：△BOG≌△POE；
（2）结合图②，通过观察、测量、猜想：$\frac{BF}{PE}$$\frac{1}{2}$，并证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若AC=8，BD=6，直接写出$\frac{BF}{PE}$的值．

分析（1）由四边形ABCD是正方形，P与C重合，易证得OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，由同角的余角相等，证得∠GBO=∠EPO，则可利用ASA证得：△BOG≌△POE；
（2）首先过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易证得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM=PE，BF=$\frac{1}{2}$BM．则可求得 $\frac{BF}{PE}$的值；
（3）首先过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，由（2）同理可得：BF=$\frac{1}{2}$BM，∠MBN=∠EPN，继而可证得：△BMN∽△PEN，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 $\frac{BF}{PE}$．

解答（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°-∠BGO，∠EPO=90°-∠BGO，
∴∠GBO=∠EPO，
在△BOG和△POE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GBO=∠EPO}\\{OB=OP}\\{∠BOG=∠COE}\end{array}\right.$
∴△BOG≌△POE（ASA）；

（2）解：猜想 $\frac{BF}{PE}$=$\frac{1}{2}$．
证明：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠NBP=∠NPB．
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
在△BMN和△PEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MBN=∠NPE}\\{NB=NP}\\{∠MNB=∠PNE}\end{array}\right.$
∴△BMN≌△PEN（ASA），
∴BM=PE．
∵∠BPE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，
∴∠BFP=∠MFP=90°．
在△BPF和△MPF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPF=∠MPE}\\{PF=PF}\\{∠PFB=∠PFM}\end{array}\right.$
∴△BPF≌△MPF（ASA）．
∴BF=MF．
即BF=$\frac{1}{2}$BM．
∴BF=$\frac{1}{2}$PE．
即 $\frac{BF}{PE}$=$\frac{1}{2}$；
故答案为$\frac{1}{2}$；

（3）如图3，
过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴tan∠ACB=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{3}{4}$
由（2）同理可得：BF=$\frac{1}{2}$BM，∠MBN=∠EPN，
∵∠BNM=∠PNE=90°，
∴△BMN∽△PEN．
∴$\frac{BM}{PE}=\frac{BN}{PN}$．
在Rt△BNP中，tan∠ACB=$\frac{BN}{PN}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{BM}{PE}$=tan∠ACB=$\frac{3}{4}$．
即 $\frac{2BF}{PE}$=$\frac{3}{4}$．
∴$\frac{BF}{PE}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{8}$．