Question

4．[问题背景]
如图1，∠ABC=60°，点D，E分别为射线BA和BC上的动点，以DE为边画等边△DEF，点O为△DEF的内心，求∠ABO的度数．
[问题探究]
（1）当点D和B重合时，∠ABO=30°；
（2）如图2，过点E画∠BEG=60°交BA于G，点P为△BEG的内心．
①求证：△BDE∽△POE；
②求∠ABO的度数，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点解答；
（2）①连接DO、BP，根据内心的性质和相似三角形的判定定理证明△BPE∽△DOE，根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{DE}$=$\frac{PE}{OE}$，证明△BDE∽△POE；
②根据相似三角形的性质得到∠OPE=∠DBE=60°，证明点B、P、O在同一条直线上，根据内心的性质计算即可．

解答 解：（1）当点D和B重合时，
∵点O为△DEF的内心，
∴BO平分∠ABC，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
故答案为：30；
（2）①连接DO、BP，
∵∠ABC=60°，∠BEG=60°，
∴△BEG是等边三角形，
∵点P为△BEG的内心，
∴∠PBE=∠PEB=30°，
∵点O为△DEF的内心，
∴∠ODE=∠OED=30°，
∴△BPE∽△DOE，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{PE}{OE}$，
∵∠BED+∠DEG=∠FEG+∠DEG，
∴∠BED=∠FEG，
同理，∠PEO=∠FEG，
∴∠BED=∠PEO，又$\frac{BE}{DE}$=$\frac{PE}{OE}$，
∴△BDE∽△POE；
②∵△BDE∽△POE，
∴∠OPE=∠DBE=60°，
∴∠OPE+∠BPE=180°，即点B、P、O在同一条直线上，
∴OB平分∠ABC，
∴∠ABO=30°．

点评 本题考查的是内心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的内心是三角形的内接圆的圆心、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．