Question

19．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．
（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；
（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明．

解答 解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACB=∠ECD=90°}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠EAC+∠BDC=90°，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，
∴PM=$\frac{1}{2}$BD，PN=$\frac{1}{2}$AE，
∴PM=PM，
∵PM∥BD，PN∥AE，
∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，
∵∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°，
即PM⊥PN；
（2）设AE与BC交于点O，如图②所示：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACB=∠ECD=90°}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 　　　　
∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°，
∴AE⊥BD，
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM=$\frac{1}{2}$BD，PM∥BD，PN=$\frac{1}{2}$AE，PN∥AE，
∴PM=PN．　　　　　　　　　　　　   
∵AE⊥BD，
∴PM⊥PN．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解答此题的关键．