Question

4．在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠ACD=90°．点E是BC的中点，AF平分∠BAC，CF⊥AF于点F．连接EF．
（1）求证：∠AFE=∠CFE；
（2）过点B作BG⊥AF分别交AF、AC于点H、G．求证：EF=$\frac{1}{2}$CG．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出∠BAC=∠ACD=90°，由直角三角形的性质得出AE=$\frac{1}{2}$BC=BE=CE，证出△ACF是等腰直角三角形，得出AF=CF，再由SSS证明△AEF≌△CEF，得出对应角相等即可；
（2）延长AB、CF交于点K，证出BG∥CF，由平行线的性质得出∠AGB=∠ACF=45°，证明△ABG和△AKC是等腰直角三角形，得出AB=AG，AK=AC，因此BK=CG，证明EF是△BCK的中位线，得出EF=$\frac{1}{2}$BK，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∵E为BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=BE=CE，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF=45°，
∵AF⊥CF，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴AF=CF，∠ACF=45°，
在△AEF和△CEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CF}&{\;}\\{AE=CE}&{\;}\\{EF=EF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEF（SSS），
∴∠AFE=∠CFE；

（2）证明：延长AB、CF交于点K，如图所示：
∵BG⊥AF，CF⊥AF，
∴BG∥CF，
∴∠AGB=∠ACF=45°，
∴△ABG和△AKC是等腰直角三角形，
∴AB=AG，AK=AC，
∴BK=CG，
∵AF⊥CF，
∴KF=CF，
∴EF是△BCK的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$BK，
∴EF=$\frac{1}{2}$CG．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明EF是三角形中位线是解决问题（2）的关键．