Question

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N． 
（1）求过O，B，E三点的二次函数关系式；
（2）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（3）若反比例函数y=

m

x

（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）首先把O（0，0），B（4，2），E（6，0）代入y=ax²+bx+c，可得

c=0 16a+4b+c=2 36a+6b+c=0

，解此方程即可求得答案；
（2）首先设直线DE的解析式为：y=kx+b，然后将点D，E的坐标代入即可求得直线DE的解析式，又由点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，可得点M的纵坐标为2，继而求得点M的坐标；
（3）由反比例函数y=

m

x

（x＞0）的图象经过点M，即可求得该反比例函数的解析式，又由点N在BC边上，B（4，2），可得点N的横坐标为4．然后由点N在直线y=-

1

2

x+3上，求得点N的坐标，即可判断点N是否在该函数的图象上．

解答：解：（1）设过O，B，E三点的二次函数关系式为：y=ax²+bx+c；
把O（0，0），B（4，2），E（6，0）代入y=ax²+bx+c，得

c=0 16a+4b+c=2 36a+6b+c=0

，
解得：

a=- 1 4 b= 3 2 c=0

，
∴过O，B，E三点的二次函数关系式为：y=-

1

4

x²+

3

2

x；


（2）设直线DE的解析式为：y=kx+b，
∵点D，E的坐标为（0，3）、（6，0），
∴

b=3 6k+b=0

，
 解得

k=- 1 2 b=3

，
∴直线DE的解析式为：y=-

1

2

x+3；
∵点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，
∴点M的纵坐标为2．
又∵点M在直线y=-

1

2

x+3上，
∴2=-

1

2

x+3．
∴x=2．
∴M（2，2）；

（3）∵y=

m

x

（x＞0）经过点M（2，2），
∴m=4．
∴该反比例函数的解析式为：y=

4

x

，
又∵点N在BC边上，B（4，2），
∴点N的横坐标为4．
∵点N在直线y=-

1

2

x+3上，
∴y=1．
∴N（4，1）．
∵当x=4时，y=

4

x

=1，
∴点N在函数y=

4

x

 的图象上．

点评：此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．