Question

14．四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O，DB⊥AD，AD=8cm，BD=12cm，
（1）求AC的长；
（2）求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB=CD，BC=AD=8cm，BC∥AD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=6cm，由勾股定理求出OC，即可得出AC的长；
（2）由勾股定理求出CD，得出AB，△ABC的周长=AB+BC+AC，即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD=8cm，BC∥AD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=6cm，
∴∠DBC=∠ADB，
∵DE⊥AD，
∴∠DBC=∠ADB=90°，
∴OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（cm），
∴AC=2OC=20cm；
（2）在Rt△DBC中，CD=$\sqrt{B{C}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=4$\sqrt{13}$，
∴AB=4$\sqrt{13}$，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=4$\sqrt{13}$+8+20=28+4$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．