Question

18．为召开球类运动会，学校决定购买一批篮球和足球，若购买3个篮球和2个足球共需420元；购买2个篮球和4个足球共需440元．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中购买篮球的数量不少于足球数量的$\frac{2}{3}$，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为8000元．请问有几种购买方案？
（3）若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y元，在（2）的条件下，求哪种方案能使y最小，并求出y的最小值．

Answer 1

分析 （1）设每个篮球x元，每个足球y元，构建方程组即可解决问题；
（2）设购买篮球x个，足球（100-x）个，构建不等式组，求整数解即可；
（3）构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题；

解答 解：（1）设每个篮球x元，每个足球y元，由题意，得：
$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y=420}\\{2x+4y=440}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=100}\\{y=440}\end{array}\right.$，
∴一个篮球100元，一个足球60元．
（2）设购买篮球x个，足球（100-x）个，由题意可得：
$\left\{{\begin{array}{l}{x≥\frac{2}{3}（100-x）}\\{100x+60（100-x）≤8000}\end{array}}\right.$
解得：40≤x≤50，
∵x为正整数，
∴x=40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，
∴共有11种购买方案．

（3）由题意可得y=100x+60（100-x）=40x+6000（40≤x≤50）
∵k=40＞0
∴y随x的增大而增大
∴当x=40时，y有最小值，y_最小=40×40+6000=7600（元）
所以当x=40时，y的最小值为7600元．

点评 本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为方程或不等式思想求解．