Question

如图，一轮船沿正东方向匀速航行，在A地测得小岛P在北偏东30°方向，此船航行1h到达B地时，测得小岛P在北偏东15°方向．
（1）求∠APB的度数；
（2）问此船在航行多久，离小岛P最近？（

2

≈1.414，

3

=1.732，精确到0.01h）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：（1）在△APB中，先求出∠PAB=60°，∠ABP=105°，再根据三角形内角和为180°即可求出∠APB的度数；
（2）设此船再航行th，离小岛P最近．过点P作AB的垂线，垂足为H．设AB=s．先解Rt△ABC，得出AC=2AB=2s，BC=

3

AB=

3

s，由等角对等边得到PC=BC=

3

s．再由BC∥PH，得出

BH

AB

=

PC

AC

=

3 s

2s

=

3

2

，然后根据匀速航行的渔船其时间之比等于路程之比轮船比例式

t

1

=

3

2

，从而求出轮船行驶BH的路程所需的时间．

解答：解：（1）在△APB中，∵∠PAB=90°-30°=60°，∠ABP=90°+15°=105°，
∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-60°-105°=15°；

（2）设此船再航行th，离小岛P最近．
如图，过点P作AB的垂线，垂足为H．设AB=s．
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=2s，BC=

3

AB=

3

s．
∵∠APB=∠CBP=15°，
∴PC=BC=

3

s．
∵BC∥PH，
∴

BH

AB

=

PC

AC

=

3 s

2s

=

3

2

，
∴

t

1

=

3

2

，
∴t=

3

2

≈0.87．
答：此船再航行0.87h，离小岛P最近．

点评：本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．