Question

14．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l，交抛物线于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BD的解析式；
（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，是否存在点P，使得四边形CQMD是平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由对称性可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式；
（3）用m可表示出M、Q的坐标，则可表示出QM的长，由平行四边形的性质可知QM∥CD且QM=CD，则可得到关于m的方程，可求得m的值．

解答 解：
（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）∵点C与点D关于x轴对称，
∴D（0，-2），
∴可设直线BD解析式为y=kx-2，
把B（4，0）代入可得4k-2=0，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2；

（3）如图所示，

设Q（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），则M（m，$\frac{1}{2}$m-2），
∴QM=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m-2）=-$\frac{1}{2}$m²+m+4，
∵QM∥CD，
∴当QM=CD时，四边形CQMD是平行四边形，
∴-$\frac{1}{2}$m²+m+4=4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=2，
∴当m=2时，四边形CQMD是平行四边形．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、平行四边形的性质、方程思想等知识．在（1）（2）中注意利用待定系数法，在（3）中用m表示出QM的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大，较易得分．