Question

等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；

（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.

【解析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF=60°，主要再证得PE=PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE=PC来实现；

（2）根据△ABC的面积-△BEP的面积-△CFP的面积=四边形AEPF面积求解

（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP=x，则CP=6-x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可

 

Answer 1

（1）△EPF为等边三角形.     --------------4分

（2）设BP=x，则CP＝6－x.

     由题意可 △BEP的面积为.△CFP的面积为.

△ABC的面积为.

设四边形AEPF的面积为y.

 ∴ =.

自变量x的取值范围为3＜x＜6. --------------8分

（3）可证△EBP∽△PCF.

∴ .

设BP=x，

则 . 解得 .

∴ PE的长为4或.    --------------12分