Question

13．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D为BC边延长线上的一点，E为BC边的中点，EF⊥AD于点F，交AC边于点G，若∠DEF=2∠CAD，FG=3，EG=5，则线段BD的长为$\frac{55}{3}$．

Answer 1

分析 连接AE，由等腰三角形的性质得出AE⊥BC，由已知条件得出∠DEF=∠EAF，∠EAC=∠CAD，由角平分线得出$\frac{AE}{AF}=\frac{EG}{FG}$=$\frac{5}{3}$，设AE=5x，则AF=3x，由射影定理得出AD=$\frac{25}{3}$x，由勾股定理得出方程，解方程得出x=2，AE=10，AD=$\frac{50}{3}$，AF=6，由勾股定理得出DE=$\frac{40}{3}$，由角平分线得出$\frac{EC}{CD}=\frac{AE}{AD}$=$\frac{3}{5}$，求出BE=CE=$\frac{3}{8}$DE=5，即可求出BD的长．

解答 解：连接AE，如图所示：
∵AB=AC，E为BC边的中点，
∴AE⊥BC，
∵EF⊥AD，
∴∠DEF=∠EAF，
∵∠DEF=2∠CAD，
∴∠EAC=∠CAD，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{EG}{FG}$=$\frac{5}{3}$，
设AE=5x，则AF=3x，
由射影定理得：AE²=AF•AD，
∴AD=$\frac{25}{3}$x，
由勾股定理得：EF²=AE²-AF²，
即（5x）²-（3x）²=（5+3）²，
解得：x=2，
∴AE=10，AD=$\frac{50}{3}$，AF=6，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{40}{3}$，
∵∠EAC=∠CAD，
∴$\frac{EC}{CD}=\frac{AE}{AD}$=$\frac{10}{\frac{50}{3}}$=$\frac{3}{5}$，
∴BE=CE=$\frac{3}{8}$DE=$\frac{3}{8}$×$\frac{40}{3}$=5，
∴BD=BE+DE=5+$\frac{40}{3}$=$\frac{55}{3}$；
故答案为：$\frac{55}{3}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理、射影定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理得出方程求出AE和AD是解决问题的关键．