题目内容
18．进价为每件40元的某商品，当售价为每件50元时，每星期可以卖出500件．市场调查反映：如果每件商品每降价1元，每星期可多卖出10件；如果每件商品每涨价1元，则每星期少卖出5件，公司规定：每件商品的售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售该商品400件，设每件售价x元（x为正整数），每星期销售量为y件．（1）求y与x的函数关系及自变量x的取值范围．
（2）设商场每星期销售该商品的利润为w，请求出w与x的函数关系式．
（3）当该商品的售价定为多少元时，才能使每星期利润最大？并求这个最大利润．
分析 （1）根据“如果每件商品每降价1元，每星期可多卖出10件”可知销售量为：500+10（50-x），（42≤x≤50），根据“如果每件商品每涨价1元，则每星期少卖出5件”可知销售量为：500-5（x-50），（50＜x≤70）；
（2）根据利润=单件利润×销售量，分降价和涨价列出w与x的函数关系式．
（3）在42≤x≤50和50＜x≤70分别求出函数的最值解决问题．
解答 解：（1）∵如果每件商品每降价1元，每星期可多卖出10件，
∴销售量为：500+10（50-x）=-10x+1000（42≤x≤50），
∵如果每件商品每涨价1元，则每星期少卖出5件，
∴销售量为：500-5（x-50）=-5x+750（50＜x≤70）；
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-10x+100（42≤x≤50）}\\{-5x+750（50＜x≤70）}\end{array}\right.$；
（2）降价时：W=（x-40）（-10x+1000）=-10x2+1400x-40000（42≤x≤50），
涨价时：W=（x-40）（-5x+750）=-5x2+950x-30000（50＜x≤70），
∴W=$\left\{\begin{array}{l}{-10x2+1400x-40000（42≤x≤50）}\\{-5x2+950x-30000（50＜x≤70）}\end{array}\right.$；
（3）当42≤x≤50时，W=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000
当x≤70时，W随x的增大而增大，
所以当x=50时，W最大，W最大=5000；
当50＜x≤70时，W=-5x2+950x-30000=-5（x-95）2+15125，
当x≤95时，W随x的增大而增大，
所以当x=70时，W最大，W最大=12000；
所以当该商品的售价定为70元时，才能使每星期利润最大，最大利润是12000元．
点评 本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意确定不同范围内的函数表达式是解决问题的关键．
实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：|a|+|c-b|-|a+b|+|a-c|．
如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE=DF，四边形AEGF是矩形，矩形AEGF的面积y随BE的长x的变化而变化，y与x之间的关系可以用怎样的函数来表示？