Question

如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，连结BE交CD于F，且BF=AC．
（1）△ACD与△FBD全等吗？请说明理由；
（2）求∠ACB的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定

专题：

分析：（1）先求出∠DCB=45°，那么△BDC是等腰直角三角形，得出BD=CD．再利用HL即可证明△ACD≌△FBD；
（2）由△ACD≌△FBD，根据全等三角形的性质得出∠A=∠BFD，由∠BFD+∠ABE=90°，等量代换有∠A+∠ABE=90°，根据三角形外角的性质得出∠BEC=90°，于是BE⊥AC，又因为E是AC的中点，那么BE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出AB=BC，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出∠ACB=∠BAC=

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（180°-∠ABC）=67.5°．

解答：解：（1）△ACD与△FBD全等．理由如下：
∵CD⊥AB于点D，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
△BDC中，∵∠BDC=90°，∠DBC=45°，
∴∠DCB=45°，
∴BD=CD．
在Rt△ACD与Rt△FBD中，

AC=BF CD=BD

，
∴Rt△ACD≌Rt△FBD（HL）；

（2）∵△ACD≌△FBD，
∴∠A=∠BFD，
∵∠BFD+∠ABE=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC，
∵E是AC的中点，
∴BE是AC的垂直平分线，
∴AB=BC，
∵∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠BAC=

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（180°-∠ABC）=67.5°．

点评：本题考查了全等三角形、等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，综合性较强，难度适中．（2）中证明BE⊥AC是解题的关键．