Question

19．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD．
（1）求证：$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$．
（2）若$\widehat{AC}$的度数为58°，求∠AOD的度数．

Answer 1

分析 （1）欲证弧BD=弧CD，只需证明它们所对的圆心角相等，即∠BOD=∠COD．
（2）利用圆周角、弧，弦的关系求得$\widehat{AD}$=61°+85°=119°，则∠AOD=119°．

解答 解：（1）证明：连接OC．∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO．
∵AC∥OD，
∴∠OAC=∠BOD．
∴∠DOC=∠ACO．
∴∠BOD=∠COD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$．

（2）∵$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BC}$=（180°-58°）=61°．
∴$\widehat{AD}$=61°+85°=119°，
∴∠AOD=119°．

点评 本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系．