题目内容
16．
如图，在△ABC中，点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，点F是∠ABC、∠ACB外角平分线的交点，点A1是内角∠ABC、外角∠ACD平分线的交点．（1）若∠A=70°，则∠A1EC=55°°；∠BFC=55°°；
（2）探究：∠BEC与∠BFC满足何种数量关系？并简要说明理由；
（3）若∠A=m°，在前面的情况下，继续作∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，∠A2BC与∠A2CD的平分线交于点A3，…，以此类推，∠A2012BC与∠A2012CD的平分线交于点A2013，探求∠A2013的度数 （用m的关系式表示，直接写出结果）．
分析 （1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，根据角平分线的定义求出答案；
（2）与（1）类似解答即可；
（3）求出∠A1的度数，总结规律，得到答案．
解答 解：（1）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°，
E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，
∴∠BEC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=125°，
∴∠A1EC=55°；
∠BFC=180°-$\frac{1}{2}$（360°-110°）=55°；
（2））∵∠A=m°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-m°，
E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，
∴∠BEC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=90°+$\frac{1}{2}$m°，
∠BFC=180°-$\frac{1}{2}$（360°-180°+m°）
=90°-$\frac{1}{2}$m°
∴∠BEC与∠BFC互补；
（3）∵∠A1CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠A1BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BA1C=∠A1CD-∠A1BC=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}$m°，
由此可知，∠A2013的度数为：$\frac{1}{{2}^{2013}}$m°．
点评 本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，熟记三角形内角和等于360°和角平分线的定义是解题的关键．
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