Question

3．如图，AB是⊙O的直径，延长AB到点C，使得2BC=3OB，D是⊙O上一点，连接AD，CD，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点F，过点D作DE⊥AC于点E，且DE=DF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=4．
①求DF的长；
②连接OF，交AD于点M，求DM的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，只要证明∠ODF=90°即可．
（2）①求出OC、CD，再根据$\frac{1}{2}$•OC•DE=$\frac{1}{2}$•OD•CD，即可解决问题．
②由OD∥AF，得到$\frac{OD}{AF}$=$\frac{OC}{CA}$=$\frac{DM}{AM}$，求出AF，求出DM：AM，在Rt△AED中利用勾股定理求出AD，即可解决问题．

解答 解：（1）如图，连接OD．
∵DF⊥AF，DE⊥AC，DF=DE，
∴∠DAE=∠DAF，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠DOA，
∵∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠ODA+∠ADF=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥CF，
∴CD是⊙O的切线．

（2）①∵AB=4，
∴OA=OB=2，
∵2BC=3OB，
∴BC=3，
在Rt△OCD中，CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∵$\frac{1}{2}$•OC•DE=$\frac{1}{2}$•OD•CD，
∴DE=$\frac{2\sqrt{21}}{5}$．
②∵OD∥AF，
∴$\frac{OD}{AF}$=$\frac{OC}{CA}$=$\frac{DM}{AM}$
∴AF=$\frac{14}{5}$，
∴$\frac{DM}{AM}$=$\frac{2}{\frac{14}{5}}$=$\frac{5}{7}$，
∴$\frac{DM}{AD}$=$\frac{5}{12}$，
在Rt△ODE中，OE=$\sqrt{O{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{21}}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{70}}{5}$，
∴DM=$\frac{5}{12}$×$\frac{2\sqrt{70}}{5}$=$\frac{\sqrt{70}}{6}$．

点评 本题考查圆的综合题、角平分线的性质定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．