Question

3．如图，在平面直角坐标系中四边形ABCD为菱形，边AD在y轴上．其中A（0，1），B（-$\sqrt{3}$，0），双曲线y=$\frac{m}{x}$经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接CO并延长交双曲线于点E，连接DE，P是双曲线在第一象限上的一个动点，满足S_△BDP=2S_△CDE，求点P的坐标；
（3）将直线BD沿x轴向右平移，交x轴于点K，交射线BA于点H，问是否存在某一时刻，使得△KOH为等腰三角形？若存在求出线段OK的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要求出点C坐标即可解决问题．
（2）如图1中，作DF⊥BC于F，连接PB，PD，PF，设P（a，$\frac{2\sqrt{3}}{a}$），由S_△BDP=2S_△CDE，得S_△PBF+S_△PDF-S_△BDF=4S_△COD，列出方程即可解决问题．
（3）存在．分三种情形讨论①如图2中，当OK=KH时，设OK=KH=b，作HF⊥OB于F．②如图3中，当OK=OH时，设OK=OH=b，③如图4中，当OK=KH时，设OK=KH=b，作OF⊥AB于F．分别列出方程解决问题即可．

解答 解：（1）∵A（0，1），B（-$\sqrt{3}$，0），
∵OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=CD=2，
∴C（-$\sqrt{3}$，-2），D（0，-1），
∵双曲线y=$\frac{m}{x}$经过点C，
∴m=2$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$．

（2）如图1中，作DF⊥BC于F，连接PB，PD，PF，设P（a，$\frac{2\sqrt{3}}{a}$），

∵S_△BDP=2S_△CDE，
∴S_△PBF+S_△PDF-S_△BDF=4S_△COD，
∴$\frac{1}{2}$×1×（a+$\sqrt{3}$）+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×（1+$\frac{2\sqrt{3}}{a}$）-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=4×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$，
∴P（$\sqrt{3}$，2）或（2$\sqrt{3}$，1）．

（3）存在．
①如图2中，当OK=KH时，设OK=KH=b，作HF⊥OB于F．

∵∠HBK=∠HKF=30°，
∴HB=HK，BF=FK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∴$\sqrt{3}$b+b=$\sqrt{3}$，
∴b=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
∴OK=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．

②如图3中，当OK=OH时，设OK=OH=b，

∵∠OHK=∠OKH=∠ABK=30°，
∴∠HOB=60°，
∴∠OHB=90°，
∴OB=2OH
∴2b=$\sqrt{3}$，
∴b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

③如图4中，当OK=KH时，设OK=KH=b，作OF⊥AB于F．

∵∠HBK=∠HKB=30°，
∴HB=KB=OK=b，
在Rt△OBF中，∵OB=$\sqrt{3}$，∠BF0=90°，∠OBF=30°，
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BF=$\frac{3}{2}$，
∵∠KOH=∠OHK=75°，∠BHK=120°，
∴∠FHO=45°，
∴FH=OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b=BH=BF+FH=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OK=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
综上所述，当△KOH为等腰三角形时，OK的长为$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查反比例函数综合题、菱形的性质、直角三角形30度角性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求 三角形的面积，学会用方程思想思考问题，学会分类讨论，考虑问题要全面，属于中考压轴题．