Question

6．已知两数之积等于1，我们称这两个数互为倒数，如：2×$\frac{1}{2}$=1，$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=1，我们称2与$\frac{1}{2}$；$\sqrt{2}$与$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$互为倒数．若a+$\sqrt{b}$与a-$\sqrt{b}$互为倒数，求$\sqrt{4a-b-5}$+$\sqrt{4a+a+5}$的倒数．

Answer 1

分析 先利用倒数的定义得到a²-b=1，即b=a²-1，则$\sqrt{4a-b-5}$=$\sqrt{-（a-2）^{2}}$，利用二次根式有意义的条件得a=2，则b=3，所以$\sqrt{4a-b-5}$+$\sqrt{4a+a+5}$=4，然后利用倒数定义求解．

解答 解：∵a+$\sqrt{b}$与a-$\sqrt{b}$互为倒数，
∴（a+$\sqrt{b}$）（a-$\sqrt{b}$）=1，
∴a²-b=1，即b=a²-1，
∴$\sqrt{4a-b-5}$=$\sqrt{4a-{a}^{2}+1-5}$=$\sqrt{-（a-2）^{2}}$，
∴-（a-2）²≤0
∴a-2=0，解得a=2，
∴b=a²-1=4-1=3，
∴$\sqrt{4a-b-5}$+$\sqrt{4a+a+5}$=0+$\sqrt{4×2+3+5}$=4，
所以$\sqrt{4a-b-5}$+$\sqrt{4a+a+5}$的倒数为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．利用二次根式有意义的条件确定a的值是解决问题的关键．