题目内容
△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．
解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．
当△ABC是锐角三角形时， 证明：
过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a﹣x
根据勾股定理，得b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2
即b2﹣x2=c2﹣a2+2ax﹣x2．
∴a2+b2=c2+2ax
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0．
∴a2+b2＞c2．
当△ABC是钝角三角形时， 证明：
过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D． 设CD为x，则有BD2=a2﹣x2
根据勾股定理，得（b+x）2+a2﹣x2=c2．
即a2+b2+2bx=c2．
∵b＞0，x＞0，
∴2bx＞0，
∴a2+b2＜c2．
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．
当△ABC是锐角三角形时， 证明：
过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a﹣x
根据勾股定理，得b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2
即b2﹣x2=c2﹣a2+2ax﹣x2．
∴a2+b2=c2+2ax
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0．
∴a2+b2＞c2．
当△ABC是钝角三角形时， 证明：
过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D． 设CD为x，则有BD2=a2﹣x2
根据勾股定理，得（b+x）2+a2﹣x2=c2．
即a2+b2+2bx=c2．
∵b＞0，x＞0，
∴2bx＞0，
∴a2+b2＜c2．
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