Question

已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与x轴相交于A、B两点．且始终与y轴相切于定点C(0，1)．

(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；

(2)若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)连结PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H　　1分 　　∵⊙P与y轴相切于点C(0，1)， 　　∴PC⊥y轴． 　　∵P点在反比例函数的图象上， 　　∴P点坐标为(k，1)　　2分 　　∴PA＝PC＝k． 　　在Rt△APH中，AH＝＝， 　　∴OA＝OH－AH＝k－． 　　∴A(k－，0)　　3分 　　∵由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知，PH垂直平分AB． 　　∴OB＝OA＋2AH＝k－＋2＝k＋， 　　∴B(k＋，0)　　4分 　　故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x＝k． 　　可设该抛物线解析式为y＝a＋h　　5分 　　又抛物线过C(0，1)，B(k＋，0)，得： 　　 　　解得a＝1，h＝1－k2　　7分 　　∴抛物线解析式为y＝＋1－k2　　8分 　　(2)由(1)知抛物线顶点D坐标为(k，1－k2) 　　∴DH＝k2－1． 　　若四边形ADBP为菱形．则必有PH＝DH　　10分 　　∵PH＝1，∴k2－1＝1． 　　又∵k＞1，∴k＝　　11分 　　∴当k取时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形　　12分