Question

勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段AB=1，点P₁是线段AB的黄金分割点（AP₁＜BP₁），点P₂是线段AP₁的黄金分割点（AP₂＜P₁P₂），点P₃是线段AP₂的黄金分割点（AP₃＜P₂P₃），…，依此类推，则AP_n的长度是

 

．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：规律型

分析：根据黄金分割的定义得到BP₁=

5 -1

2

AB=

5 -1

2

，则AP₁=1-

5 -1

2

=

3- 5

2

，同理得到AP₂=

3- 5

2

×

3- 5

2

=（

3- 5

2

）²，AP₃=（

3- 5

2

）³，根据此规律得到AP_n=（

3- 5

2

）ⁿ．

解答：解：∵线段AB=1，点P₁是线段AB的黄金分割点（AP₁＜BP₁），
∴BP₁=

5 -1

2

AB=

5 -1

2

，
∴AP₁=1-

5 -1

2

=

3- 5

2

，
∵点P₂是线段AP₁的黄金分割点（AP₂＜P₁P₂），
∴AP₂=

3- 5

2

×

3- 5

2

=（

3- 5

2

）²，
∴AP₃=（

3- 5

2

）³，
∴AP_n=（

3- 5

2

）ⁿ．
故答案为（

3- 5

2

）ⁿ．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．