Question

3．已知：正方形ABCD．
（1）如图1，点E和F分别是边AB和AD上的点，且AE=AF，则线段DF与BE之间有怎样的关系？请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当α=90°时，连接BE、DF，若AE=5，则当直线DF垂直平分EB时，直接写出AD的值．
（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB，得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF的各边中点所组成的四边形是什么特殊的四边形？直接写出结论．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出AD=AB，再利用等式的性质得出DF=BE和DF⊥BE即可；
（2）延长DF交AB于H，交BE于G，根据全等三角形的判定和性质证明DF=BE，进而证明DF⊥BE即可；
（3）连接BD，直线DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，BD=$\sqrt{2}$AD，解答出即可；
（4）连接BE、DF，同理求出BE=DF，BE⊥DF，再根据对角线相等且互相垂直的四边形的中点组成的四边形是正方形解答．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，AD⊥AB，
∵AE=AF，
∴DF=BE，且DF⊥BE；
（2）此时（1）中的结论成立，如图1：

理由：延长DF交AB于H，交BE于G，
由题意可知∠DAF=∠BAE，
在△DAF与△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=BA}\\{∠DAF=∠BAE}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△BAE（SAS），
∴DF=BE，∠ADF=∠ABE，
∵∠ADF+∠DHA+90°=∠ABE+∠BHG+∠HGB，
∵∠DHA=∠BHG，
∴∠HGB=90°，
即∠DBG=90°，
即DF⊥BE，
∴DF=BE，且DF⊥BE；
（3）连接BD，如图2：

∵直线DF垂直平分BE，
∴AD+AE=BD，BD=$\sqrt{2}$AD，
∴AE=（$\sqrt{2}$-1）AD，
∵AE=5，
∴AD=$5\sqrt{2}+5$；
（4）连接BE、DF，如图3：

与（2）同理求出BE=DF，BE⊥DF，
故顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是正方形．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及中点四边形的判定，熟记各性质求出三角形全等是解题的关键．