Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

1

2

x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点A在第二象限内作AC⊥AB，且AC=AB．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）将△ABC向右平移得到△A′B′C′，点A的对应点A′始终在x轴上，当点C的对应点C′落在直线y=

1

2

x+1，求△ABC平移的距离及B′的坐标．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征,坐标与图形变化-平移

专题：

分析：（1）把x=0和y=0分别代入y=

1

2

x+1，求出y x的值即可求得A、B的坐标；证△ADC≌△AOB，证出OA=DC=2，AD=OB=1，即可求出C的坐标；
（2）根据平移的性质可知C′的纵坐标为2，代入y=

1

2

x+1即可求得C′的坐标，根据C′的坐标即可求得△ABC平移的距离，根据平移的距离即可求得B′的坐标．

解答：解：（1）由y=

1

2

x+1可知当x=0时，y=1，
当y=0时，x=-2，
由勾股定理得：AB=

12+22

=

5

，
∴点A的坐标为（-2，0）、B的坐标为（0，1），边AB的长为

5

；
作CD⊥x轴于D，
∵AC⊥AB，
∴∠CAD+∠OAB=90°，
在△ACD和△ABO中

∠CAD=∠ABO ∠ADC=∠AOB AC=AB

∴△ACD≌△ABO（AAS），
∴AD=OB=1，CD=OA=2，
∴C（-3，2）．
（2）根据题意可知C′的纵坐标为2，代入y=

1

2

x+1得，2=

1

2

x+1，
解得，x=2，
∴C′（2，2），
∴△ABC平移的距离为：2+3=5，
∵B（0，1），
∴B′（5，1）．

点评：本题考查了一次函数图象上的坐标特征，平移的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键．